Een meerderheid van de leerlingen in het voortgezet onderwijs vindt wiskunde moeilijk, of saai, of allebei. Er zijn zelfs leerlingen die wiskundeangst ontwikkelen. Veel volwassenen hebben negatieve herinneringen aan de wiskundelessen. Waarom lukt het ons niet om meer leerlingen enthousiast te maken voor ons mooie vak? Is dat niet het doel dat we zouden moeten nastreven, meer leerlingen enthousiast maken? Zouden we niet moeten blijven nadenken over het wiskundeonderwijs?

Met grote regelmaat krijg ik van een leerling de vraag: Meneer, waarom moet ik dit leren? De vraag heeft me aangespoord om er een essay aan te wijden, dat is opgenomen in mijn van de week verschenen verhalen- en essaybundel Wiskundigen mogen niet huilen. Hier licht ik een tikje van de sluier op.

Om eerlijk te zijn, moet ik bekennen dat ik ook geen adequaat antwoord heb op bovenstaande vraag. De manier waarop wiskunde vaak wordt aangeboden, werkt voor veel leerlingen demotiverend. Kunnen we daar niets aan doen? In de praktijk blijkt dit toch vaak lastig. Vaak is de methode leidend, moet er aan het eind van de rit een examen worden afgelegd, wat betekent dat grote hoeveelheid stof in hoog tempo moet worden doorgewerkt, vaak zijn er nog bepaalde afspraken binnen secties, en binnen de school. Bovendien geven we zo veel les, dat er nauwelijks tijd overblijft om samen te werken, om na te denken over onderwijs, laat staan om een verandering in gang te zetten.

Natuurlijk zijn er docenten die los van de methode werken en wiskunde wel aantrekkelijk weten te maken voor leerlingen. En ook zijn er genoeg leerlingen die wel plezier aan wiskunde beleven. Maar ook dan is de vraag of de wiskunde die wordt aangeboden wel wiskunde is. Rijtjes sommen maken, het leren en automatiseren van regels, het toepassen van deze regels in geforceerde contexten, is dat waar wiskunde over gaat? En kunnen we het vak ook voor de goede leerlingen niet nog aantrekkelijker maken?

Wiskunde = kunst

Er zijn vele tegenstanders te vinden van het moderne wiskundeonderwijs. Een van hen is Paul Lockhart die het boek A mathematician’s Lament schreef. Lockhart ziet wiskunde als een kunst, en beschouwt het als onze taak dat over te brengen. Hij geeft het voorbeeld van een rechthoek met daarin een driehoek, waarbij de onderste (horizontale) lijnen van de driehoek en de rechthoek dezelfde zijn en de punt van de driehoek ergens op de bovenste horizontale lijn ligt.

Je kunt je vervolgens afvragen hoeveelste deel de oppervlakte van de driehoek uitmaakt van de rechthoek. Daar gaat wiskunde volgens hem om, jezelf dingen afvragen, jezelf bevragen, spelen en jezelf amuseren met je verbeelding. Wat een schrijver doet met woorden, doet een wiskundige met ideeën om bepaalde patronen te kunnen ontdekken. Wat gebeurt er als je de top van de driehoek naar links of rechts verschuift? Blijft de oppervlakte van de driehoek dan nog steeds een even groot deel uitmaken van de rechthoek? Zo ja, hoezo? Zo nee, waarom niet? Door één lijntje te trekken, één simpel lijntje vanuit de top van de driehoek naar beneden wordt in één keer duidelijk dat het antwoord op de vraag hoeveelste deel de oppervlakte van de driehoek van de rechthoek uitmaakt, een half moet zijn. Zelfs wanneer je de top van de driehoek naar links of naar rechts beweegt, zelfs als de rechthoek andere afmetingen heeft. Op zich is dit al een opmerkelijk resultaat, want er zijn oneindig veel punten mogelijk voor de top van de driehoek.

Dit impliceert dat we een uitspraak kunnen doen over oneindig veel punten zonder te weten hoeveel oneindig is. Lockhart schrijft terecht dat oppervlakten van driehoeken op school op een andere, minder spannende manier behandeld worden, namelijk als een simpele formule: een half keer de basis keer de hoogte. In Moderne Wiskunde staat het zelf ontdekken meer centraal dan in Getal en Ruimte, de relaties tussen begrippen blijven echter vaak onbesproken en de leerling moet uit elke opgave wel iets nieuws halen. Leerlingen zijn dan afhankelijk van de docent, die onderlinge relaties moet behandelen.

Wat is wiskunde?

Paul Ernest, die zich bezighoudt met filosofie van de wiskunde en filosofie van het wiskundeonderwijs, geeft in zijn artikel Waarom geven we wiskunde? aan dat het wiskundeonderwijs in feite om drie vragen draait. Wat is wiskunde? (hoe kun je immers wiskunde geven als je niet weet wat het is, je bent dan overgeleverd aan het boek, en de vraag is of de auteurs zich ooit over die vraag hebben gebogen). Kun je wiskunde overal toepassen? En Wat is het doel van wiskundeonderwijs? Ik ben van mening dat hier in secties over gepraat zou moeten worden.

In mijn verhalen- en essaybundel probeer ik een eerste aanzet te formuleren op de vraag Wat is wiskunde? Dit antwoord is zeker niet definitief, vele aspecten van wiskunde blijven onbesproken. Bovendien blijf ik me ontwikkelen door te lezen, na te denken en te praten over wiskunde(onderwijs).

Ernest schrijft terecht dat er vaak gehamerd wordt op de bekwaamheid van wiskunde, maar dat er weinig aandacht wordt besteed aan de waardering voor het vak zelf. Ernest somt een zevental punten op van wat hij onder waardering verstaat, die ik in mijn essay heb overgenomen. Hij noemt deze waardering voor de wiskunde een recht van iedere leerling. Verder schrijft hij:

“De waardering voor wiskunde behelst zo het zich bewust worden van en begrip hebben voor de aard en de waarde van de wiskunde, evenals begrip hebben van en het kunnen bekritiseren van de sociale toepassingen. De breedte van deze kennis en begrip is immens, maar veel leerlingen verlaten de school zonder ooit te zijn blootgesteld aan, of te hebben gedacht over, een van de bovenstaande zeven elementen van waardering. Mijn doel in het tegenover elkaar zetten van bekwaamheid en waardering is het vestigen van de aandacht op de verwaarlozing van het laatste, zowel in theorie als in praktijk. Gecijferde burgers opleiden die gefundeerd kritiek kunnen leveren op de sociale toepassingen van de wiskunde, wat het doel is van de hierboven genoemde openbare opvoeder, zou een begin kunnen zijn van het realiseren van het waarderen van de wiskunde. Maar er zou nog steeds een element ontbreken. Dit is het ontwikkelen van waardering voor de wiskunde als element van de maatschappijcultuur en de cultuur en de aard van de wiskunde zelf. Ondanks de liefde van de meeste docenten voor de wiskunde, is het nog niet gelukt die waardering over te dragen aan de leerlingen en wordt dat ook nergens bevorderd. Je zou kunnen zeggen dat wiskundige professionals hun vak onderwaarderen, en de mogelijkheid dat leerlingen wiskunde leuk gaan vinden, onderschatten.”

Deze aandacht voor de waardering van het vak is zeker niet van de laatste tijd. Het onderstaande citaat is afkomstig is van Dr. D.J.E. Schrek, uit de inleiding van zijn artikel Het cultuurhistorisch element in het wiskundeonderwijs, gepubliceerd in het eerste nummer van het eerste jaargang van Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, de voorloper van het blad Euclides. We spreken over 1924!

“Reeds dikwijls is – en niet alleen in ons land – op het betreurenswaardige feit gewezen, dat de verschillende vakken van onderwijs van het leerplan te veel naast elkander staan, zonder dat er van eenige wisselwerking sprake is. Dit toch is, voor zoover ik kan -beoordeelen, wel de meest voorkomende toestand en het is mij -meermalen gebleken, dat ook de leerlingen dien aldus zien, wat dan ook moeilijk anders kan.”

Schrek schreef dat deze situatie ongewenst is; je zou immers toch willen dat leerlingen een overzicht krijgen van de cultuur als geheel, en wiskunde maakt daar een belangrijk onderdeel van uit. Dus in plaats van wiskunde als los vak aan te bieden, zou het beter zijn om daar waar mogelijk te verwijzen naar andere culturele elementen. Men kan hierbij bijvoorbeeld denken aan kunst, literatuur, architectuur, muziek, geschiedenis, filosofie, techniek. Bovendien zijn geschiedenis en filosofie van de wiskunde interessante gebieden die een goede aanvulling zijn op het abstracte en taaie deel van de wiskunde. Dijksterhuis schreef in 1966 dat voor docenten de

“…kennis van de historische ontwikkeling van het vak een niet slechts waardevol, maar rondweg onmisbaar bezit is, dat hen, uiteraard in combinatie met een goede beheersing van de hedendaagse wiskunde, eerst in staat zal stellen, aan de eisen die hun werkkring stelt, te voldoen. Zij hebben voortdurend te maken met fasen uit de ontwikkeling der wiskunde die reeds lang tot de geschiedenis zijn gaan behoren en ze moeten die fasen duidelijk en aantrekkelijk maken voor jeugdige personen die op deze wijze in wiskundig denken moeten worden geoefend.”

Er zijn uiteraard andere manieren om het wiskundeonderwijs aantrekkelijker te maken. Dit was ook het onderwerp van mijn TEDx-talk aan de Technische Universiteit Delft afgelopen februari. Ook vormt dit het uitgangspunt van Wiskundigen mogen niet huilen, dat een vijftal essays en verhalen bevat. Ik heb getracht andere aspecten van wiskunde te belichten, om de interesse te wekken, om te prikkelen, om medestanders te vinden. Graag zou ik gelijkgestemden ontmoeten die zich willen buigen over de vraag hoe we wiskunde voor meer leerlingen aantrekkelijker zouden kunnen maken.

____________________

Gerardo Soto y Koelemeijer (1975) studeerde wiskunde en literatuurwetenschap en promoveerde in wiskunde. Hij schreef twee romans: Armelia (2006) en De gestolen kinderen (2013). Daarnaast is hij docent wiskunde. Eind november verscheen Wiskundigen mogen niet huilen bij de Amsterdam University Press, zie  http://nl.aup.nl/books/9789089649065-wiskundigen-mogen-niet-huilen.html

De link naar zijn TEDx-talk is hier.
https://www.youtube.com/watch?v=5sg4zxZMDN4

Bronnen

Dijksterhuis E.J. (1966-1967), De plaats van de geschiedenis in de studie der wiskunde, Euclides, jaargang 42, nummer 1, pp. 1-11

Ernest P. (2003). ‘Waarom geven we wiskunde?’ In: Nieuwe Wiskrant, 23-2, december Online via www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/232/232december_ernest

Lockhart P. (2009). A mathematician’s Lament. New York: Bellevue Literary Press.

Schrek D.J.E. (1924-1925), Het cultuurhistorisch element in het wiskunde-onderwijs, Bijvoegsel van het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, jaargang 1, nummer 1, pp. 29-32

sotoykoel